unten: eine Biegelinie (blau), deren Abstand von der Geraden (schwarz) an einer Stelle x1 die örtliche Durchbiegung w1 ist

Als Durchbiegung länglicher Gegenstände wie Balken oder Stäben wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lage bezeichnet, der bei Biegebelastung quer zur Längsachse entsteht.

Die Durchbiegung lässt sich bei linear-elastischer Verformung mit Hilfe der Balkentheorie berechnen. Als Durchbiegung wird i. d. R. der Versatz bezeichnet, der in der dabei ermittelten Biegelinie an einer Stelle dargestellt wird.

Durchbiegung von Balken

Die erste Biegetheorie stammt von Galilei (1564–1642). Weiter ausgebaut wurde sie v. a. durch das Hookesche Gesetz (1678) sowie im 17. und 18. Jahrhundert durch Forschungen von Jakob I Bernoulli, Leonhard Euler und Claude Navier.

Unter der Annahme, dass y und z die Hauptträgheitsachsen sind (y horizontal nach hinten und z vertikal) und dass sich die Krümmung in y-Richtung, d. h. die Ableitung des Steigungswinkels w' in der vertikalen xz-Bildebene, an der Stelle x wie folgt berechnen lässt: [1]

,

gilt:

 [1][2]

mit

Für die Biegelinie eines hinreichend elastischen, schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete Näherungsformel der Krümmung für betragsmäßig kleine Steigungswinkel w'≈0 unter ausschließlicher Momentenbelastung ():

Die eigentlich gesuchte Durchbiegung w erhält man durch zweimalige Integration der Krümmung unter Berücksichtigung der Rand- und Übergangsbedingungen (u. a.: keine Durchbiegung an den Lagerstellen, d. h. ):

Beispiele

Balken unter Mittellast

1. Beispiel

Wirkt die Kraft F mittig (d. h. bei der halben Stablänge ) auf einen Träger mit konstanten Querschnittseigenschaften auf zwei Stützen, so ist das Biegemoment und damit auch die Stabkrümmung in der Stabmitte am größten (Erläuterung hier):

Für gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

damit folgt unter Berücksichtigung der Randbedingung und der Übergangsbedingung :

und somit:

2. Beispiel

Wirkt eine konstante Liniengleichlast ( in N/m)[3] auf einen Träger auf zwei Stützen mit konstanten Querschnittseigenschaften, so gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

Dies ergibt:

Anmerkung:
Bei Linienlast ist Ausgangsgleichung die 4. Ableitung der Biegelinie:

Diese (mit ) wurde viermal integriert, wobei nach dem zweiten Integrieren als Zwischenergebnis der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und dem Biegemomentverlauf gefunden wurde:

Durchbiegung von Kreisflächen

Bei flächenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert, lässt sich aber bei Kreisflächen – etwa für Membranen (z. B. Lautsprecher) oder große Linsen (z. B. Fernrohrobjektive) – ebenfalls abschätzen.

Hat die Membran eine nur geringfügige Dicke d, so folgen die Biegemomente einer radialen bzw. tangentialen Differentialgleichung. Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel, die bei einer Querkraft Q genähert lautet:

mit

Komplexere Fälle

Solange ein Gegenstand sich auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften/Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar und homogen, orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist, bietet die analytische Mechanik Lösungsmöglichkeiten auch für andere regelmäßige Formen (Airy’sche Spannungsfunktion). Auch Fälle mit unterschiedlichen Materialien sind genähert lösbar, wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, z. B. bei axialer Anordnung.

Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar. Sie werden oftmals durch Biegeversuche im Labor oder mathematisch-physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile (v. a. Finite-Elemente-Methoden) untersucht. Für Beton gibt es für die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen, um es im ungerissenen Bereich (der Mikrorisse, jedoch keine Makrorisse enthält) als verschmiert homogenes Material betrachten zu können.

Literatur

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b H. Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249
  2. Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO - LVA-Nr 202.065. Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien, TU Verlag (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 Wien 2016 ISBN 9783903024175 Kapitel 2.7.1 Queranteile und 10.2 Ausgewählte Lastglieder für die Queranteile
  3. Tobias Renno: www.statik-lernen.de. Abgerufen am 23. August 2017.